Définition :
Soit \(E\) un espace vectoriel sur le corps \({\Bbb K}\)
Alors l'ensemble \((E^*)^*\) est noté $$E^{**}=\{\xi:E^*\to{\Bbb K}\mid\xi\text{ est une forme linéaire}\}$$
(//Espace dual - Base duale, Forme linéaire)
Propriétés
Espace vectoriel
Tout comme \(E^*\), l'ensemble \(E^{**}\) est un espace vectoriel en tantqu'ensemble des formes linéaires
(Espace vectoriel)
Théorème :
Il existe un isomorphisme linéaire canonique (=qui ne dépend pas du choix de base de \(E\)) \(\Psi\) tel que $$\Psi:{{E}}\to {{E^{**} }}$$
(Isomorphisme)
On identifie toute forme de \(E^{**}\) avec un point de \(E\) : $$x\in E^{**}:\forall\alpha\in E^*,x(\alpha):=\alpha(x)$$
Linéarité
Remarque :
\(f_x\) est une forme linéaire sur \(E^*\)
Remarque :
On va souvent identifier \(E\) et \(E^{**}\) vu que l'isomorphisme $$\Psi:x\in E\to f_x\in E^{**}$$ est canonique
Existence d'une base duale
Corollaire :
Pour toute base \(\alpha=\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\}\) de \(E^*\), il existe une base \(v=\{v_1,\ldots,v_n\}\) de \(E\) telle que $$\alpha_1=v^*_1$$